Свойства декартова умножения

Рассмотрим свойства декартова умножения.

1. Декартово умножение не обладает переместительным свойством: АВВА. Действительно, элементами множества АВ являются пары (a;b), а элементами множества ВА являются пары (b;а). При аb эти пары различны. Следовательно, если АВ, то множества АВ и ВА так же различны. В этом нетрудно убедиться на любом примере.

2. Декартово умножение множеств не подчиняется и сочетательному закону: (АВ)С А(ВС).

3. Декартово умножение связано с операцией объединения множеств распределительным свойством: (АВ) С=(АС)(ВС).

Даны множества А={a, b}, B={c, d, e}, C={c, m}. Докажем, что множество А(ВС) равно множеству (АВ )( АС).

Найдем вначале ВС={c, d, e, m}, затем А(ВС)={(a, c), (a, d),
(a, e), (a, m), (b, c), (b, d), (b ,e), (b, m)}.

Теперь найдем АВ={(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)} и АС={(a, c), (a, m), (b, c), (b, m)} . И наконец (АВ )( АС)={(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e) (a, m), (b, m)}.

Мы видим, что множества А(ВС) и (АВ)(АС) состоят из одинаковых элементов. Значит А(ВС) = (АВ)(АС).



Наглядное изображение декартового произведения двух множеств (конечных и бесконечных) можно получить при помощи декартовой системы координат на плоскости.