Определение понятий

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет равные стороны, равносторонний треугольник – равные углы, четные числа делятся на 2 и т.д. Данные объекты имеют и другие свойства: квадрат имеет прямые углы, равносторонний треугольник – равные стороны, четные числа на 1 больше нечетных в порядке их следования.

При выделении объекта из ряда других объектов различают его существенные и несущественные свойства.

Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него не может существовать.

Несущественные свойства – это свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Например, четные числа делятся на 2 – существенное свойство, больше на 1 – несущественное.

Чтобы понимать, что представляет собой объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Условимся обозначать понятия строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о квадрате, имеют в виду геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – это множество объектов, обозначаемых одним термином. Соответственно обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C…

Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта, отраженных в данном понятии, составляет содержание понятия.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник». В содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник».

Если объемы понятий  a и b не пересекаются, т.е. АВ=, то говорят, что понятия a и b несовместимы.

Если объемы понятий a и b находятся в отношении пересечения, т.е. АВ, то понятия  совместимы.

Если объем понятия  а является собственным подмножеством объема понятия  b, т.е. АВ и АВ, то говорят, что:

1)    понятие а является видовым по отношению к понятию b , а понятие b – родовым по отношению к a;

2)    понятие a уже, чем понятие b, а понятие b шире понятия а;

3)    понятие а есть частный случай понятия b, а понятие b есть обобщение понятия а.

Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения:  АВ и АВ, поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если объемы понятий равны, т.е. А=В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны, так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение вида и рода между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению  к другому. Например, понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовым являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Например, «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами прямоугольника.

Так как объем понятия является множеством, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера. Установим отношения между некоторыми понятиями и изобразим отношения между их объемами на кругах Эйлера: 1)  а –  «целое число», 
b – «натуральное число», с – «отрицательное число»; 2) а – «дерево», b – «растение»,  с – «кустарник».

Решение: Выясним,  в каком отношении находятся данные объемы.

1) Целое число может быть как положительным, так и отрицательным. Натуральные числа – это целые положительные. Отрицательные числа могут быть и целыми и дробными. Значит ВА,  АС, ВС. На кругах Эйлера это выглядит так:

 

 

                                                                                                            

                    

2) Дерево и кустарник являются растениями. Следовательно, АВ и СВ, причем  АС. Тогда данные отношения между объемами понятий
а – «дерево», b – «растение», с – «кустарник» можно изобразить следующим образом:

                 

Указание существенных свойств объекта, которые достаточны для его распознавания, является определением понятия об этом объекте.