1. Операция отрицания.
Отрицанием предиката Р(х), заданного на множестве Х, называется предикат , заданный на том же множестве и истинный при тех и только тех значениях хХ, при которых предикат Р(х) принимает значение лжи.
2. Операция конъюнкции.
Конъюнкцией предикатов Р(х) и Q(x), заданных на множестве Х, называется предикат Р(х)Q(x), заданный на том же множестве и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях хХ, при которых оба предиката принимают значения истины.
Если обозначить ТР – множество истинности предиката Р(х), ТQ – множество истинности предиката Q(х), а множество истинности их конъюнкции TPÙQ, то, по всей видимости, TPÙQ = TP Ç TQ.
Докажем это равенство.
1. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а Î TPÙQ . По определению множества истинности это означает, что предикат Р(х)Q(x) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание Р(а)Q(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то по определению конъюнкции получаем, что каждое из высказываний Р(а) и Q(а) также истинно. Это означает, что а ТР и а ТQ . Таким образом, мы показали, что TPÙQ Ì ТР Ç ТQ .
2. Докажем обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а Î TP Ç TQ . По определению пересечения множеств это означает, что а ТР и а ТQ , откуда получаем, что Р(а) и Q(а) – истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний Р(а)Q(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности предиката Р(х)Q(x), т.е. а Î TPÙQ .
Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства TPÙQ = ТР Ç ТQ , что и требовалось доказать.
Наглядно это можно изобразить следующим образом.
3. Операция дизъюнкции.
Дизъюнкцией предикатов Р(х) и Q(x) называется предикат Р(х)Q(x), определенный на том же множестве Х и обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях хХ, при которых принимает значение истины хотя бы один из предикатов Р(х) или Q(x).
Аналогично доказывается, что TPÚQ = TP È TQ.
4. Операция импликации.
Импликацией предикатов Р(х) и Q(x), заданных на множестве Х, называется предикат Р(х) Q(x), определенный на том же множестве Х и обращающийся в ложное высказывание при тех и только тех значениях хХ, при которых Р(х) принимает значение истины, а Q(x) – значение лжи.
5 .Операция эквиваленции.
Эквиваленцией предикатов Р(х) и Q(x), заданных на множестве Х, называется предикат Р(х) Q(x), определенный на том же множестве Х и принимающий значение истины при тех и только тех значениях хХ, при которых значения каждого из предикатов либо истинны либо ложны. Множество истинности в таком случае выглядит так:
|
TPÛQ = .
Пример. На множестве М={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} заданы предикаты: А(х) – «число х не делится на 5», В(х) – «х – число четное», С(х) – «х – число простое», D(x) – «число х кратно 3». Найти множество истинности следующих предикатов:
a) А(х)В(х); b) A(x); c) C(x)A(x); d) B(x)D(x) и изобразить их при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
Решение: a) Найдем множество истинности предикатов.
А(х): T = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19};
В(х): Т = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}.
Множество истинности конъюнкции А(х)В(х) есть пересечение множеств истинности T и Т.
Т = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18}
b) Множествa истинности А(х): T = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19}; : T ={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.
Тогда множество истинности A(x) будет следующим:
Т={1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19}.
с) Множествa истинности С(х): Т ={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; А(х): T = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19}.
Множество истинности импликации есть объединение множества истинности второго предиката с множеством истинности отрицания первого.
Значит множество истинности импликации C(x)A(x) будет следующим: Т = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
d) Множества истинности В(х): Т1= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и D(x): T = {3, 6, 9, 12, 15, 18}. Тогда множество истинности дизъюнкции B(x)D(x) есть объединение множеств истинности Т1 и T2 и будет следующим: Т = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}.