Виды доказательств

Различают два вида доказательств: прямое и косвенное.

Построение доказательства, начинающегося условием и заканчивающегося заключением теоремы, носит название прямого. Путь рассмотрения некоторых случаев, исчерпывающих все возможности – это косвенное доказательство.

Прямое доказательство представляет собой цепочку правильных умозаключений так, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих: А.

Пример. Доказать, что если a + b + c = 0, то a+ b+ c= 3abc.

Доказательство:  a + b = 0 (1)                               a + b = –c   (2)

                            (a + b) = –c  (3)                a + b+3ab(a + b) = –c  (4)

         из (2) и (4):  a + b+3ab(–с)  = –c  (5)             a + b+ c= 3abc   (6)

Мы построили цепочку логических рассуждений:

(1)  (2)  (3)  ((2)(4))  (5)  (6), чем и доказали формулу.

К прямым доказательствам относят и метод полной индукции.

Пусть требуется доказать истинность высказывания (хХ) А(х). Если множество Х={ x, x, …, х} конечно, то перебирая все элементы из Х можно установить истинность А(х), А(х), …, А(х). Cледовательно и истинность А(х). Такой способ доказательства носит название полной индукции.

Пример. Пусть К = {5,7,11,13}. Доказать, что все элементы данного множества простые числа.

Доказательство: Простое число – это числа, имеющие только два делителя – 1 и само это число. Тогда 5 – простое число, 7 – простое число, 11 – простое число, 13 – простое число, что и требовалось доказать.

Пример. Приведем доказательство следующей теоремы: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: 

I рассуждение.

Вертикальные углы равны (раньше доказанная теорема). Углы AOD и СОВ при вершине О – вертикальные (по определению).

Следовательно, ÐAOD  = ÐСОВ.

II рассуждение.                                             

Два треугольника равны, если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника (первый признак равенства треугольников).

В DAOD и DСOВ   OD = OB, OA = OC (по условию, ÐAOD = ÐСОВ (заключение рассуждения I).

III рассуждение.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (ранее доказанный факт).

DAOD = DСOВ (заключение рассуждения II), ÐОВС и ÐОDA лежат в равных треугольниках против равных сторон.

Следовательно, ÐОВС и ÐОDA.

IV рассуждение.

Если внутренние накрест лежащие углы при прямых AD, BC и секущей BD параллельны (ранее известный факт),  ÐОВС и ÐОDA – внутренние накрест лежащие углы при прямых AD, BC и секущей BD. ÐОВС = ÐОDA (заключение рассуждения III).

Следовательно, AD = BC.

С помощью рассуждений V–VIII аналогичным образом получаем, что АВ || DC.

V рассуждение.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм (на основании определения параллелограмма).

В четырехугольнике ABCD  АD || BC и АВ || DC. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Доказательство завершено.

Если множество Х бесконечно, то его разбивают (если возможно) на конечное число попарно непересекающихся непустых подмножеств. Установив истинность для одного подмножества, делают общий вывод.

К косвенным доказательствам относят метод от противного и метод контрпозиции.