Неравенства с одной переменной

Пусть  f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x) > g(x) или f(x) < g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства  f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x) + d  > g(x) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех  х из множества Х выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства  f(x) > g(x) и f(x) × h(x) > g(x) × h(x) равносильны на множествеХ.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(x) × d  > g(x) × d, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех  х из множества Х выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства  f(x) > g(x) и f(x) × h(x) < g(x) × h(x) равносильны на множестве Х.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x) × d  < g(x) × d, равносильное данному.

Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 – х, х Î R? Найти множество решений этого неравенства.

Решение. Число х = 5 является  решением неравенства
2х + 7 > 10 – х, так как 2×5 + 7 > 10 – 5 – истинное числовое неравенство. А множество его решений – это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х + 7 > 10 – х Þ 3х > 3 Þ х > 1.

Задача. Решить неравенство 5х – 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.

Решение.

Решением неравенства х < 7 является промежуток (–¥; 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х – 5 < 2х + 16 является промежуток (–¥; 7).

Задача. Равносильны ли неравенства 2х + 7 > 10  и 2х > 3?

Решение. Данные неравенства равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток .

Упражнения для самостоятельной работы

1.         Являются ли числа 3 и 4,25 решениями неравенства  
6(2х + 7) < 15(х + 2)?

2. Равносильны ли на множестве R следующие пары неравенств:

a) –17x < –51 и х > 3;              в) 6 –5x > –4 и х < 2;

б)  и 3х ­– 1 > 0;          г) и 2х + 3 > 0?

3. Решите неравенства и обоснуйте преобразования, которые будете при этом выполнять:

а) ;

б) ;

в) (0,4х – 2) – (1,5х + 1) ³ 3,6 + (–4х – 0,8);

г) .