Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Общим кратным натуральных чисел a и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.

Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b).

Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 – наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12, 18) = 36.

Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:

1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным.

2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b, то К(а, b) ≥ а.

3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.

Наибольший общий делитель

Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.

Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 – наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел a и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то          D(а, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.

Например, числа 14 и 15 – взаимно простые, так как D(14, 15) = 1.

Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:

1. Наибольший общий делитель чисел a и b всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если a< b, то D (a, b) ≤ a.

3. Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель этих чисел.

Наибольшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. K(a, b)·D(a, b) = a·b.

Из этого утверждения вытекают следствия:

а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т.е. D(a, b) = 1 => K(a, b) = a·b;

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно из перемножить, так как D(14, 15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, D(24, 36)=12.

Задача 32. Сформулировать и доказать признак делимости на 6.

Решение. Для того чтобы натуральное число x делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Пусть число x делится на 6. Тогда из того, что x6 и 62, следует, что x2. А из того, что x6 и 63, следует что x3. Мы доказали, что, для того чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Покажем достаточность этого условия. Так как x2 и x3, то x – общее кратное чисел 2 и 3. Любое общее кратное чисел делится на их наименьшее кратное, значит xK(2;3).

Поскольку D(2, 3)=1, то K(2, 3)=2·3=6. Следовательно, x6.

Задача 33. Сформулировать признаки делимости на 12, 15 и 60.

Решение. Для того чтобы натуральное число x делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.

Задача 34. Найти числа a и b, если K(a, b)=75, a·b=375.

Решение. Используя формулу K(a,b)·D(a,b)=a·b, находим наибольший общий делитель искомых чисел а и b:

D(a, b) === 5.

Тогда искомые числа можно представить в виде а = 5р, b = 5q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5p и 5q в равенство a·b=275. Получим 5p·5q=375 или p·q=15. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 15. Таких пар две:    (3, 5) и (1, 15). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 15 и 25 или 5 и 75.

Задача 35. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 7 и    a· b= 1470.

Решение. Так как D(a, b) = 7, то искомые числа можно представить в виде  а = 7р, b = 7q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство a·b = 1470. Тогда 7p·7q = 1470 или p·q = 30. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 30. Таких пар четыре: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 7 и 210, 14 и 105, 21 и 70, 35 и 42.

Задача 36. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 3 и а:b = 17:14.

Решение. Так как a:b = 17:14, то а = 17р и b = 14p, где р – наибольший общий делитель чисел а и b. Следовательно, а = 17·3 = 51,     b = 14·3 = 42.

Задача 37. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 180,  a:b = 4:5.

Решение. Так как a: b=4: 5, то а=4р и b=5р, где р – наибольший общий делитель чисел a и b. Тогда р·180=4р·5р. Откуда р=9. Следовательно, а=36 и b=45.

Задача 38. Найти числа а и b, если известно, что D(a,b)=5, K(a,b)=105.

Решение. Так как D(a, b) · K(a, b) = a·b, то a·b = 5·105 = 525. Кроме того, искомые числа можно представить в виде а = 5р и b = 5q, где    p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство а·b = 525. Тогда 5p·5q=525 или p·q=21. Находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 21. Таких пар две: (1, 21) и (3, 7). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 5 и 105, 15 и 35.

Задача 39. Докажите, что число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Решение. Число 6 составное, его можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел: 6 = 2·3. Если мы докажем, что данное число делится на 2 и на 3, то на основании признака делимости на составное число можно будет заключить, что оно делится на 6.

Чтобы доказать, что число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1)       n делится на 2, т.е.  n = 2k. Тогда произведение  n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 2k(4k + 1)(14k + 1). Это произведение делится на 2, т.к. первый множитель делится на 2;

2)       n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение              n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)(4k + 3)(14k + 8). Это произведение делится на 2, т.к. последний множитель делится на 2.

Чтобы доказать, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1)       n делится на 3, т.е. n = 3k.  Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 3k(6k + 1)(21k + 1). Это произведение делится на 3, т.к. первый множитель делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. n = 3k + 1. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 1)(6k + 3)(21k + 8). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 2)(6k + 5)(21k + 15). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель делится на 3.

Итак, доказано, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2 и на 3. Значит, оно делится на 6.

Упражнения для самостоятельной работы

1.        Даны два числа: 50 и 75. Запишите множество:

       а) делителей числа 50; б) делителей числа 75; в) общих делителей данных чисел.

       Каков наибольший общий делитель чисел 50 и 75?

2.        Является ли число 375 общим кратным чисел: а) 125 и 75; б) 85 и 15?

3.        Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 105, a·b = 525.

4.        Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 7, a·b = 294.

5.        Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 5, a:b = 13:8.

6.        Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 224, a:b = 7:8.

7.        Найти числа a и b, если известно, что D(a, b) = 3, K(a; b) = 915.

8.        Докажите признак делимости на 15.

9.        Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

10.    Сформулируйте признаки делимости на 18, 36, 45, 75.