Соответствия между множествами

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем при условии, что скорость движения постоянна. Начальная частная школа помогает учащимся устанавить соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями, между числом, характеризующим площадь данной фигуры, и самой этой фигурой и т.п.

Соответствием между множествами  X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если  xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, SXY.

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами X={1, 2, 4, 6} и Y={3, 5} можно задать: 1) при помощи предложения с двумя   переменными:   a<b  при  условии,  что   aX,  bY;

2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения XY: {(1, 3),(1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 19) и графика (рис. 20).                                                          Y

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами графа; некоторые из них соединены друг с другом линиями, которые называются ребрами графа. График соответствия представляет собой изображение множества XY в виде точек  на координатной плоскости. Представление соответствия в виде графа и графика позволяет изображать его в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел.

Пусть на множествах  X=R,  Y={4, 6} задано соответствие «больше». Так как в заданном соответствии находится бесконечное множество пар, то такое соответствие можно представить лишь наглядно.

 Множество этих стрелок называют полным прообразом элемента t:  R(t).

R(t)={a, c, d}.

Может случиться, что из данной точки не выходит ни одна стрелка, например, b. Тогда образ элемента b пуст: R(b)=     .

Множество Х называют областью отправления соответствия R, множество Y – областью прибытия.

Совокупность А всех элементов из Х, имеющих непустые образы, называют множеством определения соответствия R. Множество В всех элементов из Y, имеющих непустой полный прообраз, называют множеством значений соответствия R.

Если график соответствия R между множествами Х и Y совпадает со всем декартовым произведением  XY, то соответствие называют полным. Если же график пуст, то  R называют пустым соответствием.

Над соответствиями можно выполнять различные операции.

Если между множествами Х и Y заданы соответствия  xPy  и  xQy, то их пересечением R=PQ называют соответствие xRy, график которого является пересечением графиков данных соответствий.

Объединением S=PQ данных соответствий называют соответствие xSy, график которого является объединением графиков соответствий xPy  и  xQy .

Если графики соответствий xPy  и  xQy – дополнительные множества в XY (т.е. не пересекаются, а в объединении дают  XY), то такие соответствия называют противоположными. Например, соответствие «число х больше числа y» и соответствие «число х не превосходит числа y».

Соответствия P и Q называют несовместимыми, если не существует ни одной пары (х;y), для которой одновременно выполнялись бы условия xPy и xQy. Например, для прямых xy  и  x||y соответствия несовместимы.

  Например, рассмотрим S – соответствие  «больше на 2»  между   множествами  S={4, 5, 8, 10} и  Y={2, 3, 6}. Тогда соответствие S={(4; 2), (5; 3), (8; 6)} и его граф будет таким, как на рисунке 23.

Изменим направление стрелок графа на обратное направление, как на рисунке 24. Получим граф нового соответствия «меньше на 2», которое обозначается   S. Тогда   S={(2; 4), (3; 5), (6; 8)}. Такое соответствие называется обратным данному.

       Пусть S – соответствие между множествами Х и Y. Соответствие  S между множествами Y и Х называется обратным данному, если ySx тогда и только тогда, когда xSy. Соответствия  S и S называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков соответствий, приведенных в примере выше. Построим в одной координатной плоскости (рис. 25) графики  соответствий, заданных графами на рис. 23 и 2

В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире, многообразны. Особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Рассмотрим примеры таких соответствий.

Пусть Х – множество кружков, Y – множество квадратов. Соответствие между ними задано при помощи стрелок (рис. 26).

Это соответствие взаимноодназначное, так как каждому кружку сопоставляется единственный квадрат и каждому квадрату сопоставляется единственный кружок.

Рассмотрим другой пример. Пусть А – множество всех четных натуральных чисел, В – множество всех нечетных натуральных чисел. Каждому четному числу поставим в соответствие число, на единицу меньше:

Получим взаимно однозначное соответствие между бесконечными множествами А и В.

Таким образом, взаимно однозначным соответствием между множествами Х и Y  называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества Х. 

Установим соответствие между элементами  множеств  А и В с помощью графа, если  А={a, b, c, d}, B={1, 2, 3, 4}.

Множества Х и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Пусть Х – множество точек отрезка АВ, а Y – множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 27), то множества точек отрезка АВ  и СD  равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Например, множество четных чисел и множество нечетных чисел. Если бесконечное множество равномощно множеству натуральных чисел N, то его называют счетным. Но среди бесконечных множеств можно найти и такие, которые не будут эквивалентны между собой. Например, множество натуральных чисел и множество всех точек  координатной прямой.    

Отношение равномощности обладает рядом свойств:

       – Рефлексивность (каждое множество равномощно самому себе: Х~Х).

       – Симметричность, т.е. X~Y  и Y~X.

       – Транзитивность, т.е. если множество Х равномощно множеству Y, множество Y равномощно множеству Z, то множество Х равномощно множеству Z:  X~Y  и Y~Z X~Z .