Отношения на множестве

В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т.е. соответствия отображения, но и связи между элементами одного множества. Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными, отношения между тремя элементами – тернарными, отношения между n элементами – n-арными.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим пример.

Пусть дано множество Х={3, 4, 5, 6, 8}. Между числами этого множества существует отношение «больше»:4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5, 8>5, 8>6. Так же существует отношение «больше на 1»: 4>3, 5>4, 6>5. Можно задать и отношение «меньше в два раза», «больше в два раза» и пр.

Рассматривая то или иное отношение, мы оперировали упорядоченными парами, образованными из чисел данного множества   (4, 3), (5, 3), (6, 3) и т.д., которые являются элементами декартова произведения  ХХ.

Отношением
на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения  ХХ.

Утверждение о том, что элементы х и y
находятся в отношении R, можно записывать так: (x, y)R
или xRy. Последняя запись читается: «элемент х находится в отношении R с элементом y ».

Отношения можно задать так же, как и соответствия:

1)    если множества конечны – перечислив пары элементов данного множества, находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными – они аналогичны формам задания соответствий.

2)    при помощи предложения с двумя переменными, т.е. указав характеристическое свойство всех пар данного множества, находящихся в отношении R (например, «число х
кратно числу у»).

3)    при помощи графа и графика. В отличие от соответствий, граф отношения строится следующим образом: элементы данного множества изображаются точками на плоскости (их называют вершинами графа), а отношение R – стрелками, идущими от одних точек к другим.

Построим граф отношения «меньше» (рис. 33-а) и граф отношения «кратно» (рис. 33-b), заданных на множестве Х={2, 4, 6, 8}

Данные отношение можно задать, перечислив пары чисел, находящиеся в данном отношении. Отношение «меньше» (x<y):  R={(2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8)}, а  отношение «кратно» (xy):   R={(2, 2), (4, 4),

(6, 6), (8, 8), (4, 2), (6, 2), (8, 2), (8, 4)}.

Для любого отношения R, заданного на множестве Х, всегда можно задать отношение R, ему обратное. Оно определяется так же, как соответствие, обратное данному.

Например, если R – отношение «х меньше  y», то обратным ему будет отношение «y больше х» на некотором множестве К.

Как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, но в нашем курсе мы будем изучать только некоторые.