Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

· некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

·        каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение;

·        формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

·        каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и терем.

При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся из аксиом путем доказательства.

Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования:

·        непротиворечивость (система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения);

·        независимость (система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом).

Множество, с заданным в нем отношением называется моделью данной системы аксиом, если в нем выполняются все аксиомы данной системы.

         Построить систему аксиом для множества натуральных чисел можно многими способами. За основное понятие можно принять, например, сумму чисел или отношение порядка. В любом случае нужно задать систему аксиом, описывающие свойства основных понятий.

         Дадим систему аксиом, приняв основное понятие операцию сложения.

         Непустое множество N назовем множеством натуральных чисел, если в нем определена операция (a; b) → a + b, называемая сложением и обладающая свойствами:

1. сложение коммутативно, т.е. a + b = b + a.

2. сложение ассоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).

3. для ,

4. в любом множестве А, являющемся подмножеством множества N, где А есть число а такое, что все хА, равны a + b, где bN.

Аксиом 1 – 4 достаточно, чтобы построить всю арифметику натуральных чисел. Но при таком построении уже нельзя опираться на свойства конечных множеств, не нашедших отражение в этих аксиомах.

Возьмем в качестве основного понятия отношение «непосредственно следовать за…», заданное на непустом множестве N. Тогда натуральным рядом чисел будет являться множество N, в котором определено отношение «непосредственно следовать за», а натуральными числами будут называться все элементы N, причем имеют место следующие аксиомы Пеано:

АКСИОМА 1.

Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

АКСИОМА 2.

Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а, непосредственно следующий за а.

АКСИОМА 3.

 Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

АКСОИМА 4.

Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а содержится в М.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числами.

Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, то получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …

Моделью аксиом Пеано может быть любое счетное множество.

Например,    I,      II,      III,      IIII, …

                    о     оо      ооо     оооо, …

                  один     два      три     четыре, …

Рассмотрим последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис.15).

Тогда N есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано.

Действительно, во множестве N  существует элемент {oo}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. выполняется аксиома 1. Для каждого множества А рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного  кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если МN и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содержится в М, то М = N, и значит выполняется аксиома 4.

В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.

Установим, какие из множеств, приведенных на рис. 16, являются моделью аксиом Пеано.

 

1                        а                         b           d                       a                                                                                   …                                       a                                                                                               …                                                                                                               c           e                  b                                                                       …                                                        c           e                           b              a)                                            б)                                         в)                                                                         …      5             6          7             8                                            г)                                                                                             Рис.16

Решение. На рисунке 16 а) изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3. Действительно, для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Но в этом множестве не выполняется аксиома 1 (аксиома 4 не имеет смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.

На рисунке 16 б) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.

         На рис. 16 в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует сразу за двумя элементами. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.

На рис. 16 г) изображено множество, удовлетворяющее аксиомам 2, 3, и, если в качестве начального элемента возьмем число 5, то данное множество будет удовлетворять аксиомам 1 и 4. Т.е., в данном множестве для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Существует и элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, это 5, т.е. выполняется аксиома 1. Соответственно будет выполняться и аксиома 4. Поэтому данное множество  является моделью аксиом Пеано.

Используя аксиомы Пеано, можно доказывать ряд утверждений Например, докажем, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство х  х.

Доказательство. Обозначим через А множество натуральных чисел, для которых а  а. Число 1 принадлежит А, поскольку оно не следует ни за каким числом из N, а значит, не следует само за собой: 1  1. Пусть аА, тогда а  а. Обозначим  а через b. В силу аксиомы 3,  а b, т.е. b bи bА.

Итак, множество А содержит 1 и вместе с каждым числом  А содержит     b = а. Значит, А = N. В силу определения А это означает, что для всех хА имеем неравенство х  х.