Упорядоченность множества натуральных чисел

Из аксиом Пеано, определения сложения следует свойство упорядоченности множества натуральных чисел. Для любых имеет место один из трех следующих случаев:

1. либо a= b,
2. либо существует единственное натуральное число k, удовлетворяющее условию a = b + k,
3. либо существует единственное натуральное число p, такое, что b = a + p.

После этого вводится определение знаков « ». Натуральное число a считают больше натурального числа b (a > b), если выполняется второе условие. Натуральное число a меньше числа b (a b для любого k следует, что a + k > b + k, из того, что a= b следует, что a + k = b + k, а из того, что a b k, из того, что a= b следует, что a k = b k, а из того, что a < b следует, что a k < b k.

Итак, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше».

Число а меньше числа b (a < b) тогда и только тогда, когда существует натуральное число с, что а + с = b.

Отношение «меньше» обладает свойством, транзитивности и антисимметричности.

Так как отношение «меньше» транзитивно и антисимметрично, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел является упорядоченным и 1 – наименьшее среди данных чисел.

Теорема 1. Если a < b, b < c, то a < c, т.е. отношение «меньше» обладает свойством транзитивности.
Доказательство. Так как a < b, b < c, то по определению отношения «меньше» существуют числа k и l такие, что b = a + k, c = b + l. Но тогда с = (a + k) + l = [на основании ассоциативности сложения] = a +(k + l). Поскольку k + l является натуральным числом, то, по определению отношения «меньше», a < c.

Теорема 2. Если a < b, то неверно, что b Доказательство. Докажем, что ни для одного натурального числа а не выполняется отношение a < a.
Предположим противное, т.е. что a < a имеет место. Тогда по определению отношения «меньше» найдется такое натуральное число с, что а + с = а, но это невозможно в силу единственности суммы.
Предположим, что оба неравенства выполнимы: a < b и b
Теорема 3. Если среди всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. 1 < а для любого натурального числа а 1.
Доказательство: Пусть а – любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а 1.
Если а 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b = b + 1 = 1 + b, т.е. по определению отношения «меньше», 1 < а.

Следовательно, любое натуральное число либо равно 1, либо больше 1. Или единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности:
1) a = b a + c = b + c, ac = bc;
2) a bc.

Докажем, например, что a < b a + c < b + c, ac < bc.
Доказательство. Если a < b, то существует такое натуральное число k, что а + k = b. Тогда b + c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c + k) = (a + c) + k. Равенство b + c = (a + c) + k означает, что a + c < b + c.
Точно также можно доказать, что если a < b, то ac < bc.



Располагая элементы данного множества так, чтобы из любых двух чисел сначала шло меньшее, получим ряд целых неотрицательных чисел 0, 1, 2, 3, 4,… Этот ряд бесконечен и за каждым числом а непосредственно следует число а + 1. Причем, ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа х, что a < x 7, так как 9 = 7 + 2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».