Уравнения с одной переменной

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение – это значит найти множество его корней.

Множество значений переменной, при которых выражения f(x) и g(x) имеют смысл, называется областью определения уравнения
f(x) = g(x). Множество решений уравнения является подмножеством области его определения.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называются равносильными.

Замена уравнения равносильным ему уравнением называется преобразованием.

Преобразования, позволяющие получать равносильные уравнения, могут быть следующими:

1. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве Х, прибавить одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве Х, то получится уравнение f(x) + h(x) = g(x) + h(x), равносильное данному.

Из данного утверждения вытекают следствия, которые используются при решении  уравнений:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве Х, умножить на одно и то же выражение h(x), имеющее смысл на множестве Х и не обращающееся на нем в нуль, то получится уравнение f(x)× h(x) = g(x)× h(x), равносильное данному.

Из этого утверждения вытекает следствие:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Задача. Установить, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) х2 – 9 = 0   и   (2х + 6)(х – 3) = 0;

б) (3х + 1) × 2 = 6х + 1  и  х2 + 1 = 0;

в) х2 – х – 2 = 0   и   (х – 1)(х + 2) = 0;

Решение. а) уравнения равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и  –3; б) уравнения равносильны, так как оба не имеют корней, т.е. множества их решений совпадают; в) уравнения не являются равносильными, так как корнями первого уравнения являются числа –1 и 2, а второго – числа 1 и –2.

Задача. Решить уравнение  и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.

Решение.

Преобразования	Обоснование преобразований
1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: .	Выполнили тождественное преобра-зование выражения в левой части уравнения.
2. Отбросим общий знаменатель: 6 – 2х = х.	Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.
3. Выражение ­–2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6 = х + 2х.	Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.
4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х.	Выполнили тождественное преобра-зование выражения.
5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2.	Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному.

 

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2  – корень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х (х – 1) = 2х, х Î R. Разделим обе части на х, получим уравнение х – 1 = 2, откуда х = 3, т.е. данное уравнение имеет единственный корень – число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной
х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство
0 × (0 – 1) = 2 × 0. А это означает, что 0 – корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, – это разделили обе части уравнения на х, то есть умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х (х – 1) – 2х = 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены:
х (х – 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х = 0 или х – 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения – 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Задача. Решить уравнение (х × 9) : 24 = 3, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Решение. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х × 9 = 24 × 3, или х × 9 = 72. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72 : 9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Уравнение 2х4 + 4х2 – 6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнение, а 2 и –1 не являются его корнями.

2. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве R:

а) 3 + 7х = –4  и  2(3 + 7х) = –8;       в) 3 + 7х = –4  и  х + 2 = 0.

б) 3 + 7х = –4  и  6 + 7х = –1;

3. Решите уравнения и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

а) ;  б) ;  в) (2 – х) × 2 – х (х + 1,5) = 4.

4. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70) × 4 = 328;                в) (85х + 765) : 170 = 98;

б) 560 : (х + 9) = 56;                г) (х – 13581) : 709 = 306.