Пусть даны натуральные числа a и b. Говорят, что число a делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a = bq.
В этом случае число b называют делителем числа а, а число а – кратным числа b.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8*3. Можно сказать иначе: 8 – это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.
В случае, когда а делится на b, пишут: . Эту запись часто читают и так: «а кратно b».
Заметим, что понятие «делитель данного число» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 – делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.
Из определения отношения делимости и равенства а = 1*а, справедливого для любого натурального а, вытекает, 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителем может быть у натурального числа. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема. Делитель b данного числа а не превышает этого числа. Если , то
.
Доказательство. Так как , то существует такое
, что a = bq, значит, a – b = bq – b = b*(q – 1). Поскольку
, то
. Тогда
и, следовательно,
.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
Нам известно, что отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство . Так как 1 е N, то, по определению отношения делимости,
.
Теорема. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если и
, то
.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что . Но тогда
, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию и
. Тогда, по той же теореме,
.
Неравенства и
будут справедливы лишь тогда, когда
, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и теорема доказана.
Теорема. Отношение делимости транзитивно, т.е. если и
, то
.
Доказательство. Так как, то существует такое натуральное число q, что а = bq, а так как
, то существует такое натуральное число p, что
. Но тогда имеем:
. Число pq – натуральное. Значит, по определению отношения делимости,
.
Теорема (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а1, а2 ..., ап делится на натуральное число b, то и их сумма а1 + а2 + ... + ап делится на это число.
Доказательство. Так как , то существует такое натуральное число
что
. Так как
, то существует такое натуральное число
,что
. Продолжая рассуждения, получим, что если
, то существует такое натуральное число
, что
. Эти равенства позволяют преобразовать сумму а1 + а2 + ... + ап в сумму вида bq1 + bq2 + ... + bqn. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q1 + q2 + ... + qn обозначим буквой q. Тогда а1 + а2 + ... + ап = b(q1 + q2 + ... + qn) = bq , т.е. сумма а1 + а2 + ... + ап оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а1 + а2 + ... + ап делится на b, что и требовалось доказать.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема (признак делимости разности). Если числа а1 и а2 делятся на b и , то их разность
делится на b.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.
Теорема (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где xÎ N, делится на b.
Доказательство. Так как , то существует такое натуральное число q, что
. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx – натуральное число. Согласно определению отношения делимости,
, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.