Задачи на части с решением

Задачи на части. Само название вида задач говорит о том, что рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?

Решение: В задаче идет речь о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10 кг и что на 2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенье из 10 кг ягод.

Изобразим при помощи отрезка массу ягод. Тогда половина отрезка представляет собой массу ягод, которая приходиться на 1 часть. Сахара же по условию задачи надо 3 таких части.

В               

                        10 кг

С                                               ?                                                                  

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1)     10 : 2 = 5 (кг) – столько кг ягод приходится на каждую часть;

2)     53 = 15 (кг) – столько надо взять сахара.

Ответ: необходимо взять 15 кг сахара.

Задача 2. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй. Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение: В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего тетрадей 70. В одной пачке на 10 тетрадей больше. Требуется узнать количество тетрадей в каждой пачке.

Изобразим при помощи отрезка количество тетрадей в первой и во второй пачке.

  1                            ?                                       10 т.

                                                ?

  2                                                                                        70 т.

По чертежу видно, что если тетради во второй пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то тетради в первой пачке составляют 1 часть и еще 10 тетрадей.

Если эти 10 тетрадей убрать из первой пачки, то в пачках станет поровну. Запишем решение по действиям.

1)     70 – 10 = 60 (т) – столько тетрадей приходится на 2 равные части, или столько было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было поровну;

2)     60 : 2 = 30  (т) – столько тетрадей приходится на 1 часть, или столько тетрадей было во второй пачке;

3)     30 + 10 = 40 (т) – столько тетрадей было в первой пачке.

Мы использовали при решении вспомогательную модель – чертеж, которая показывает и второй способ решения. Если за 1 часть принять тетради в первой пачке, то чтобы во второй стало столько же, надо к ней прибавить 10 тетрадей:

2)     70 + 10 = 80 (т.)

3)     80 : 2 = 40 (т.)

4)     40 – 10 = 30 (т.)

Существует и третий арифметический способ решения данной задачи:

1)     10 : 2 = 5(т.) – столько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы в них стало поровну;

2)     70 : 2 = 35 (т.) – столько тетрадей в каждой пачке, если из первой переложить во вторую 5 тетрадей;

3)     35 + 5 = 40 (т.) – столько тетрадей в первой пачке;

4)     35 – 5 = 30 (т.) – столько тетрадей во второй пачке.

Ответ: в первой пачке 40 тетрадей, во второй – 30 тетрадей.

Задача. В новом книжном шкафу на каждой полке разместилось на 8 книг больше, чем в старом. Поэтому, в новом шкафу на 5 полках укладывается столько книг, сколько в старом на 7. Сколько книг размещается на одной полке нового шкафа?

Решение: Пусть х книг – на одной полке в новом шкафу. Тогда          (х – 8) книг – в старом шкафу. 5х (книг) – на пяти полках в новом шкафу. 7(х – 8) (книг) – на семи полках старого шкафа. Получим уравнение: 5х = 7(х – 8). Решаем его. 5х = 7х – 56; х = 28.

Ответ: 28 книг в новом шкафу.

Данные задачи также разбираются на семинарах в Москве.

Задача. В двух бидонах 28 л краски. Когда из первого израсходовали 3 л, а во второй долили 2 л, то в первом бидоне стало на 7 л больше, чем во втором. Сколько краски было в начале в каждом бидоне?

Решение: Пусть было х л краски в первом бидоне, (28 – х) л – во втором. Тогда, после того, как израсходовали краску из первого бидона, в нем стало на 7 л больше чем во втором: (х – 3) – 7 = 28 – х + 2. Решаем уравнение: 2х = 40; х = 20. Значит, 20л было в первом бидоне. А во втором  было 28 – х = 8(л).

Ответ: В первом бидоне было 20 л краски, во втором – 8 л.

Задача. Комбайнер в первый день убрал пшеницу с 5/18 площади участка, во второй – с 7/13 оставшейся площади, а в третий – с последних 9,5 га. Сколько пшеницы было собрано со всего участка, если средняя урожайность со всего поля составила 30 ц с гектара?

Решение. 1) 5/15 + 7/13 = 191/234 – было собрано пшеницы;

2) 1 – 192/234 = 43/234 – осталось собрать;

3) 9,5